بعض التوزيعات الاحتمالية الشهيرة

من ويكي الهندسة المعلوماتية
اذهب إلى: تصفح، ابحث

بعض التوزيعات الاحتمالية المنقطعة

ترتبط أهم التوزيعات الاحتمالية ارتباطاً وثيقاً بالتجارب الثنائية النتائج، وحياتنا اليومية زاخرة بهذا النوع من التجارب نظراً لأهميتها التطبيقية في مجال العلوم الاجتماعية

والطبيعية والزراعية والصناعية... وغيرها. عندما نقوم بقذف قطعة نقود فإن أمامنا إمكانيتين فقط إما ظهور الصورة أو ظهور الكتابة .

أثناء الرمي في اتجاه هدف معين إما تكون النتيجة إصابة الهدف أو عدم إصابته. قد يكون الشخص مدخناً أو لا يكون مدخناً.

الدواء الجديد مفيد لمعالجة مرض معين أو غير مفيد. إذا اخترنا قطعة من إنتاج مصنع معين فإما أن تكون القطعة خالية من أي عيب صناعي أو تكون معيبة صناعياً.

على الرغم من تنوع هذه التجارب إلا أنها جميعاً لها خصائص التجربة الثنائية أو "البرنولية" وميزاتها.

التجربة الثنائية

تعريف:

التجربة الثنائية هي تجربة تتصف بالخواص التالية:

1.تتألف التجربة من عدد من التكرارات المتماثلة تماماً، مثلاً.

2.ينتج عن كل تكرار إحدى نتيجتين فإما أن تكون النتيجة: "نجاحاً" أي وقوع الحدث المعني بالدراسة وسنرمز لهذه النتيجة بـ ولاحتمال وقوعها بـ ،

أو تكون النتيجة الأخرى "فشلاً" وسنرمز لهذه النتيجة بـ ولاحتمال وقوعها بـ حيث:

3.احتمال النجاح يبقى ثابتاً من تكرار إلى آخر وكذلك يكون احتمال الفشل وهذا يعني أن التكرارات تكون مستقلة بعضها عن بعض.

4.نهتم بعدد النجاحات التي نحصل عليها خلال التكرارات المستقلة الـ وسنرمز لهذا العدد بـ .

أما الشروط السابقة فهي لا تتحقق تماماً إلا فيما ندر من الحالات العملية ولكن عندما يكون الحيدان عن هذه الشروط ضمن حدود معتدلة فستكون آثاره بسيطة ولا تؤثر كثيراً في النتيجة النهائية.

ولنبحث الآن عن دالة الاحتمال الموافقة للمتحول العشوائي وهو عدد النجاحات الملحوظة في تجربة مكونة من تكراراً.

أي المطلوب تعيين الاحتمالات الموافقة لمختلف قيم المتحول العشوائي الممكنة أي تعيين:

التوزيع الثنائي النقطي "أو توزيع برنولي"

عندما نجري التجربة مرة واحدة أي في الحالة فقيمة إما أن تكون (أي النتيجة ) أو مساوية (أي النتيجة ) ونعلم بالفرض و أي أن و .

ويكون جدول التوزيع الاحتمالي المطلوب:

جدول توزيع احتمالي للتوزيع البرنولي.png

يدعى التوزيع الاحتمالي في هذه الحالة التوزيع الثنائي النقطي (أو توزيع برنولي).

تعريف:

نقول إن للمتحول العشوائي التوزيع الثنائي النقطي (أو توزيع برنولي) وسيطه إذا كانت له دالة الاحتمال:

توقع وتباين التوزيع الثنائي النقطي (أو توزيع برنولي):

مبرهنة 1:

إذا كان متحولاً عشوائياً له توزيع برنولي وسيطه فإن:

البرهان:

1)من تعريف متوسط متحول عشوائي فإن:

2)

الدالة المولدة للعزوم لمتحول برنولي:

إذا كان متحولاً عشوائياً له توزيع برنولي بوسيط فإن:

إذن الدالة المولدة للعزوم لتوزيع برنولي:

التوقع والتباين من الدالة المولدة للعزوم:

ومنه:

التوزيع الثنائي (التوزيع الحداني)

لنبحث الآن عن دالة الاحتمال للمتحول العشوائي في الحالة العامة حيث يكون عدد التكرارات المستقلة اختيارياً

ولنعين الاحتمالات الموافقة للقيم وبملاحظة أن الحدث يوافق وقوع نجاحاً و فشلاً ونلاحظ أن كل حدث ابتدائي يوافق نجاحاً و فشلاً يقع باحتمال:

أما عدد هذه الأحداث الابتدائية التي كل منها يحوي نجاحاً و فشلاً فهو يساوي عدد التبديلات الممكنة لمجموعة تحوي عنصراً

منها عنصراً متماثلاً من النوع و عنصراً متماثلاً من النوع وهو يساوي:

وباستخدام قانون جمع الاحتمالات نجد:

تعريف:

نقول عن متحول عشوائي أنه يتوزع وفق التوزيع الثنائي (الحداني) بوسيطين ونكتب باختصار إذا كانت له دالة الاحتمال (دالة الكثافة الاحتمالية) التالية:

ويمكن ملاحظة أن:

  • منشور نيوتن

مثال1:

يكتب لاحقاً

مثال2:

يكتب لاحقاً

مثال3:

يكتب لاحقاً

توقع المتحول العشوائي الثنائي وتباينه:

مبرهنة 2:

إذا كان   متحولاً عشوائياً له التوزيع الثنائي بوسيطين   فإن:

1-

2-

البرهان:

1-وفقاً لتعريف المتوسط فإن:

فقد أغفلنا القيمة لأنها تجعل من الحد العام الموافق يساوي الصفر وإذا فرضنا الآن أن فيمكن كتابة العلاقة السابقة على الشكل:

2-رأينا سابقاً أن تباين متحول عشوائي يعطى بالعلاقة التالية:

لكن:

وبوضع أي نكتب:

بالعودة إلى علاقة التباين نجد:

مثال4:

يكتب لاحقاً

القيمة الأكثر احتمالاً (النهاية العظمى للدالة ):

مبرهنة 3:

القيمة الأكثر احتمالاً للمتحول العشوائي ذي التوزيع الثنائي هي العدد الصحيح المحصور في المجال المغلق .

البرهان:

إن القيمة الأكثر احتمالاً هي تلك القيمة التي تجعل من دالة الاحتمال:

في نهايتها العظمى، ولكي يكون للدالة نهاية عظمى عند القيمة يجب أن تحقق المتراجحتين:

أو:

وبملاحظة أن:

وبتبديل و في المتراجحتين نجد:

بحل هاتين المتراجحتين بالنسبة لـ نجد:

ملاحظة:

بما أن طول المجال يساوي الواحد لأن:

فلا يوجد في المجال سوى:

1.عدد صحيح واحد إذا كان ليس صحيحاً.

2.عددين صحيحين فقط وهما طرفا المجال أي و .

مثال5:

يكتب لاحقاً

مثال6:

يكتب لاحقاً

مبرهنة 4:

إذا كان مجموعة من المتحولات العشوائية المستقلة والتي لكل منها توزيع برنولي بوسيطه فإن المتحول العشوائي:

له التوزيع الثنائي بوسيطين .

البرهان:

بما أن متحولات عشوائية مستقلة فيكون:

وهي الدالة المولدة للعزوم للتوزيع الثنائي بوسيطين حسب وهكذا نلاحظ أن كل متحول عشوائي حداني (ثنائي) وسيطاه هو مجموع من المتحولات البرنولية المستقلة والتي لكل منها الوسيط .

توزيع بواسون

تعريف:

نقول عن متحول عشوائي إنه يتوزع وفق توزيع بواسون بوسيط ونكتب باختصار إذا كانت له دالة الاحتمال التالية:

لاحظ أن وأن:

ولتوزيع بواسون تطبيقات واسعة فهو يقدم بشكل عام نموذجاً للمعلومات الإحصائية التي تأخذ شكل تعداد لحوادث نادرة الوقوع حيث يمثل المتحول العشوائي عدد الحوادث

النادرة الملحوظة في وحدة قياس معينة زمناً أكانت أم مساحة أم حجماً بينما يمثل معدل أو متوسط عدد مرات ظهور تلك الأحداث في واحدة القياس. ونوضح بالأمثلة التالية الحالات التي نطبق فيها عادة توزيع بواسون:

1.ليكن عدد المكالمات الهاتفية التي ترد إلى مقسم خلال فترة زمنية معينة.

2.ليكن عدد الجسيمات الصادرة في الثانية عن مادة مشعة.

3.ليكن عدد الأخطاء المطبعية في صفحة من صفحات كتاب معين.

4.ليكن عدد حوادث المرور في مدينة كبيرة خلال يوم.

5.ليكن عدد البكتريا الموجودة في واحدة ميليمتر مكعب من وعاء يحتوي على سائل معين.

وتكفي هذه الأمثلة لتوضيح مدى تنوع تطبيقات التوزيع البواسوني واتساعه.

التوقع الرياضي والتباين لمتحول عشوائي بواسوني:

مبرهنة 5:

إذا كان متحولاً عشوائياً بواسونياً وسيطه فإن:

1.

2.

البرهان:

1.

بفرض أن نجد:

2.التباين:

بفرض أن نجد:

الدالة المولدة للعزوم للتوزيع البواسوني:

إذا كان متحولاً عشوائياً بواسونياً وسيطه فإنه حسب تعريف الدالة المولدة للعزوم يكون:

مثال 7:

يكتب لاحقاً

مثال 8:

يكتب لاحقاً

تقريب التوزيع الثنائي بتوزيع بواسون:

مبرهنة 6:

ليكن متحولاً عشوائياً يتوزع وفق التوزيع الثنائي الذي دالته الاحتمالية:

فإذا كان متحولان بحيث يبقى ، حيث ثابت موجب. فإن:

البرهان:

وبملاحظة أن وأن

لأن كل من البسط والمقام حدودية في من الدرجة ، وأن وهكذا فإذا أخذنا النهاية للطرفين نجد:

تفيدنا المبرهنة السابقة بأن الاحتمالات التي تعطيها دالة الاحتمال البواسونية مساوية تقريباً الاحتمالات التي تعطيها دالة الاحتمال للتوزيع الثنائي شريطة أن تكون

كبيرة جداً ويكون الجداء صغيراً نسبياً ويكون التقريب مقبولاً من أجل أو .

مثال 9:

يكتب لاحقاً

مثال 10:

يكتب لاحقاً

بعض التوزيعات المستمرة الشهيرة

التوزيع المنتظم

تعريف: نقول عن متحول عشوائي إنه يتوزع توزيعاً منتظماً

إذا كانت دالة كثافته الاحتمالية تعطى بالعلاقة:

وذلك من أجل و وتدعى بالكثافة المنتظمة على المجال

وواضح هنا أن: و لأن

دالة التوزيع :

وبالتالي:

التوقع  :

التباين  :

ومنه الانحراف المعياري:

الدالة المولدة للعزوم:

ملاحظة:

هناك أيضاً المتحول العشوائي المنتظم المنقطع حيث تعطى دالة الاحتمال له على الشكل:

مثال 11:

يكتب لاحقاً

التوزيع الأسي

يكتب لاحقاً

التوزيع الطبيعي

يعد التوزيع الطبيعي من أهم التوزيعات الاحتمالية كونه توزيعاً ملائماً لمعظم الظواهر الطبيعيةبالإضافة إلى ذلك وضمن شروط عامة تكون محققة يمكن عده نهاية للعديد من التوزيعات

الاحتمالية.

تعريف:

نقول إن للمتحول العشوائي التوزيع الطبيعي بوسيطين ونرمز لذلك باختصار إذا كانت كثافته الاحتمالية:

حيث و

وفي الشكل (3) المنحني البياني لدالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي.

تابع الكثافة الاحتمالي للتوزيع الطبيعي.png

وكما نلاحظ فإن الدالة تبلغ نهايتها العظمى عند وقيمة هذه النهاية هي:

والمنحني البياني متناظر بالنسبة للمستقيم وله شكل ج رس وله خط مقارب هو المحور

ارسم ()