النظم الخبيرة

من ويكي الهندسة المعلوماتية
اذهب إلى: تصفح، ابحث

مقدمة

بعد دراسة استعمال المنطق لتمثيل المعرفة والمحاكمة، نتساءل فيما إذا كان بالإمكان استخدامه في مسائل العالم الحقيقي حولنا؟

في الحقيقة لا يمكننا أن نختصر أدوات نمذجة مسائل العالم الواقعي على منطق حساب الفرضيات والمنطق من الرتبة الأولى، والسبب في ذلك أنّ معظم مسائل العالم الواقعي لا يوجد فيها حتمية كاملة في اتخاذ القرار؛ فعندما يعاين الطبيب حالة مرضية ما فيجد أنّ هناك مجموعة أعراض (مشاهدات) تظهر على المريض مثلاً ارتفاع درجة الحرارة واحمرار الأنف ، وليس من الضروري أن تؤدي هذه المشاهدات إلى أن المريض مُصاب بالأنفلونزا.

فلو أردنا نمذجة هذه القاعدة بمنطق حساب الفرضيات لقلنا: temp ˄ RedNose ⇒ Flu

وهذا يعني أن أي ورود للمشاهدتين (احمرار الأنف + ارتفاع درجة الحرارة) إلى النظام الذي يستعمل هذه القاعدة، فسيكون الخرج هو الأنفلونزا، ولكن هذا الاقتضاء ليس صحيحاً دوماً، فليس بالضرورة أن أن تؤدي مشاهدة احمرار الأنف وارتفاع الحرارة إلى أن يكون المرض هو انفلونزا .. قد يكون مرض آخر .. إذاً في معظم القواعد المستخدمة في العالم الواقعي يوجد عدم حتمية Uncertainty. لهذا لا يمكن اقتصار الأدوات على المنطق من الرتبة الأولى أو منطق حساب الفرضيات لأنها تعتمد قواعد ذات اقتضاءات صحيحة 100 %.

  • ومن هنا وجد الباحثون في الذكاء الصنعي أن هناك تطبيقات تتطلب كمّاً هائلاً من المعرفة لحلها مثل التشخيص الطبي وحسابات الضرائب وغيرها، فنشأت برمجيات تسمى نظم قواعد معرفة Knowledge Based Systems لتصف البرمجيات التي تستعمل كماً هائلاً من المعرفة في محاكماتها.

تعريف النظم الخبيرة

يمكن تعريف النظم الخبيرة بأنها برمجيات تحاول إنتاج سلوك الخبراء البشر، لتحقيق بعض المهمات الفكرية في مجالات خاصة. ويمكن ذكر النقاط المهمة الثلاثة التالية:

  • تصمم النظم الخبيرة عموماً لحل مسائل التصنيف واتخاذ القرارات مثل (التشخيص الطبي، الوصفات العلاجية، تنظيم البورصات، وغيرها..)
  • النظم الخبيرة هي أدوات ذكاء صنعي، وهذا يعني أننا لا نستعملها إلا في المسائل التي ليس لها أي خوارزمية واضحة أكيدة لحلها.
  • تتطلب النظم الخبيرة وجود خبرة نودّ نمذجتها، أي أنه لا معنى للنظم الخبيرة إلا في المجالات التي توجد فيها خبرة بشرية. والخبير هو الشخص الذي يعرف مجال التطبيق، ويعرف نوعاً ما كيف ينقل معرفته للآخرين.

مكونات النظام الخبير وطريقة عمله

يتكون النظام الخبير بشكل أساسي من مكونين:

  1. قاعدة المعرفة Knowledge Base: تتكون من مجموعة من القواعد Rules، تنمذج المعرفة في المجال قيد الدراسة، وقاعدة حقائق Facts تتضمن معلومات تتعلق بالحالة قيد المعالجة، مثل عبارات توصيف الحالة.
  2. محرك استدلال Inference Engine: قادر على المحاكمة Reasoning بدءاً من معلومات مضمنة في قاعدة المعرفة، وعلى القيام باستنتاجات وغير ذلك، اعتماداً على تلك القواعد.

إذاً يتم البحث عن القواعد التي تنمذج المسألة من خلال تحليل المسألة وجمع المعلومات المطلوبة، لكن المسائل التي نهتم بنمذجتها غير دقيقة تماماً فليس لدي قواعد دقيقة دوماً. وهذا يعني أن هذه المسائل لا تُحل بخوارزميات ثابتة ومحددة.

معامل التوكيد.jpg

لذلك نلجأ إلى النظم الخبيرة التي تستخدم الكلمات always , usually , often , never حيث لكل كلمة نسبة (احتمال) يتم استنتاجه من خلال اختبار

لكن إذا كانت قيم معامل التوكيد غير دقيقة حينها يمكن أن نلجأ إلى التعلم الآلي machine learning أي من خلال أمثلة يمكن أن نستقرأ القاعدة .

مثال

إذا اقترض عدة رجال مسنّين قرضاً من بنك، وكانت نسبة إعادة القرض من قبلهم تساوي ثلاثة من أصل عشرة 3/10 . فنستنتج أن المسنين لن يعيدوا القرض وذلك حسب معامل توكيد بنسبة ٧٠٪ (أي 70% لن يعيدوا القرض و30% سيعيدونه). ولكن إذا كان هناك قاعدة أخرى فإذا كان دخل الرجل مليون دولار في السنة فإنه سيعيد القرض بنسبة ٩٠٪ (نعتبر أنها قاعدة نتجت عن معارف وخبرة).

الآن إذا كان الرجل المسن يحقق هذه القاعدة الثانية أيضاً، حينها نقوم بتركيب معامل التوكيد لهاتين القاعدتين ويتم التركيب بطريقتين :

  1. بالاعتماد على الرياضيات (الاحتمالات الشرطية):
    وفي هذا المنهج يتم افتراض أن جميع القواعد التي يملكها النظام في الـKB الخاصة به تحمل الشكل التالي:
    [IF (Hypothesis) Then (Evidence), with a probability of x ; x∊[0,1
    وهذا يعني أنه عندما نفترض فرضية ما نستطيع الإقرار بأننا قد لاحظنا الشاهد Evidence باحتمال مقداره x. (أي إذا افترضنا أن المريض مصاب بالانفلونزا (الكريب) نستطيع القول أن درجة حرارته مرتفعة باحتمال 80% مثلاً).
  2. بالاعتماد على المعلوماتية: أقرب إلى الحس ويعتمد على التجريب:
    أقرب إلى الحس ويعتمد على التجريب؛في هذا المنهج يتم افتراض أن جميع القواعد التي يملكها النظام في الـKB الخاصة به تحمل الشكل التالي:
    [IF (Evidence) THEN (Hypothesis), with certainty factor of x; x∊[-1,1
    ونلاحظ هنا أن القواعد تحمل الشكل المعاكس لمنهج بايز، وهذا المنهج منطقي أكثر ذلك لأن العقل البشري يفكر بنفس الطريقة، فمن أجل المثال السابق للانفلونزا هنا تصبح القاعدة هي من الشكل (إذا لاحظنا أن درجة حرارة المريض مرتفعة فهذا يعني أنه مصاب بالانفلونزا ودرجة صحة ذلك هي 80%)......

قانون بايز في الاحتمالات الشرطية

في العادة توجد المعارف لدينا احتمال مشاهدة بفرض تحقق فرضية معينة. مثل احتمال مشاهدة أحد الأعراض المرضية (مشاهدة) عند المصابين بهذا المرض (فرضية محققة). ولكننا غالباً ما نكون مهتمين بمعرفة الحالة المعاكسة وهي صدق فرضية معينة عند تحقق مشاهدة ما، أي ما هو احتمال أن يكون الشخص مصاباً بمرض معين علماً أنه مصاب بعرض محدد؟

هذا ما يمكننا قانون بايز من فعله، فهو يمكننا من حساب P(H|E) بالاعتماد على P(E|H( بالإضافة إلى الاحتمالات المطلقة لكل من H وE>

Bayes.jpeg

تعميم على أكثر من فرضية

Bayes1.jpg

تعميم على أكثر من مشاهدة

Bayes2.jpg

Bayes3.jpg


مسألة

لدينا مجموعة قواعد من الشكل :

if H1 then E1
if H2 then E1
if H3 then E1
if H1 then E2
if H2 then E2
if H3 then E2
if H1 then E3
if H2 then E3
if H3 then E3

E: مشاهدة Evidence و H: فرضية Hypothesis

لكل قاعدة احتمال شرطي نحصل عليه عن طريق الخبرة أو عن طريق إحصاء للنائج

الاحتمالات الشرطية.jpg

بفرض :في عالم مسألتي التي تنمذج القواعد اللاحتمية لأعطال سيارة ، نختصر الأعطال الممكنة "المشاهدات الممكنة الحدوث" على :

  • E1 محرك لا يدور، E2 الأضواء لا تعمل، E3 الزمور لا يعمل .

ونحتصر الأسباب التي نريد استنتاجها بناءا ً على مشاهدة ما بـ :

  • H1 البطارية معطلة، H2 المارش معطل، H3 لاتحوي بنزين .


المطلوب :

استنتاج الفرضية (H1 أو H2 أو H3 ) المسببة لمشاهدة واحدة أو عدة مشاهدات باستخدام أسلوب بايز الاحتمالي " نلاحظ أنّها مسألة اتخاذ قرار مبنية على قواعد ليست حتمية " شرح الجدول :

  • (P(Hi: يعبر عن احتمال تواجد هذا العطل بشكل عام في عالم مسألتي بمعنى : بفرض ورد لدينا 100 سيارة عانت من عطل ما ،بإهمال المشاهدات التي ممكن أن أشاهدها على هذه السيارات فإن 40 سيارة منهم كانت ذات بطارية معطوبة ،و35 سيارة منهم كانت ذات مارش معطوب ، و25 سيارة منهم كانت لا تحوي بنزين . نلاحظ أن مجموع احتمالات هذا السطر يجب أن تساوي الواحد

أي مجموع احتمالات الـ hypothesis بغض النظر عن المشاهدة يجب أن يساوي الواحد . أي أننا نفترض في مسألتنا أن Hi;i=1,2,3 هي أحداث متنافية . تذكر :

الحدثان المتنافيان : وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر ؛أي إذا وقع أحدهما لا يمكن أن يقع الحدث الآخر .وبالإسقاط على مسألتنا أي إن كانت سيارة ذات بطارية معطوبة فلا يمكن أن تكون أيضاً ذات مارش معطوب .. قد لايكون ذلك صحيح 100% من ناحية المنطق ولكن تذكر أن خرج هذا البرنامج لن يكون صحيح 100%( تشخيص العطل ) فأنت في عالم الذكاء الصنعي !! .

  • (P(E1|Hi:يُقرأ احتمال E1 علماً أن Hi قد وقع ، مثلاً عندما أقول أنّ : P(E1|H1)=0.3 فهذا يعني أنّه من أصل 10 سيارات كانت ذات بطارية معطوبة "أي تمّ معرفة أنّ بطاريتها معطوبة" فقد شوهد 3 سيارات منها ذات محرك لا يدور ،أما بقية عناصر السطر فهي تناقش فرضيات مختلفة فمثلاً العنصر الثاني في السطر الأول يقول أنه من أصل 10 سيارات شخصت بأن المارش فيها معطل شوهد 8 سيارات منها ذات محرك لايدور والعنصر الثالث يقول أنه من أصل 10 سيارات شخصت بأنها لاتحوي بنزين شوهد 5 سيارات ذات محرك لايدور وهكذا..أي أنا عناصر نفس السطر تتحدث عن فرضيات مختلفة وتعطي نسبة نفس المشاهدة لهذه الفرضيات. لماذا مجموع عناصر هذا السطر لاتساوي الواحد؟لأننا ببساطة نتحدث عن فرضيات مختلفة ففي مثال تشخيص حالة مريض يكون احتمال الصداع في حالة مرض الرشح مثلا هو 5 من أصل 10 أشخاص أما احتمال الصداع في مرض آخر هي 7 من أصل 10 أشخاص .نلاحظ أن النسب غير مرتبطة ببعضها وهذا منطقي.

الحل : إن الناظر إلى الجدول يمكن أن يقوم بقراءة السطر الخاص بالمشاهدة E3 مباشرةً وأن يقر بأن العطل المقابل هو H3 ذلك لأنه يحقق أكبر احتمال في السطر 0.9. ولكن هذا الكلام ليس دقيقا،ً لأنه يجب الموازنة بين الاحتمال H3 واحتمال (p(E3|H3، حيث نلاحظ أصلاً أن احتمال وجود العطل H3 في عالم المسألة هو 0.25 فقط مما يجعلنا نشك في أعطال أخرى. إذاً للحصول على العطل الصحيح يجب القيام بعملية Inference وذلك باستخدام قانون بايز:


B1.jpg

B2.jpg


النتائج متقاربة لذلك نبحث عن مشاهدة أخرى لهذه الحالة ولنفترض ورودالمشاهدة E1 ، فأصبح لدينا مشاهدتين E1 و E3 مما يعني أنه يجب تحديد العطل بدقة أكبر ، نعيد حساب الاحتمالات الشرطية :


B3.jpg

B4.jpg


إذاً الأرجح الآن هو العطل H2 بناءً على المشاهدتين E1و E3 واحتمالاتهما .. ولكن ماذا إن شاهدنا المشاهدة E2 أيضاً .؟ :


B5.jpg

B6.jpg


وهنا نلاحظ أنه من المستحيل أن يكون العطل الثاني هو السبب. والعطل المرجح هو H3 إذاً خرج البرنامج هو اتخاذ قرار بأن عطل السيارة التي شاهدنا عليها المشاهدات الثلاثة E1,E2,E3 هو H3 ..

مسألة ٢

يوجد لدينا الأمراض D1 , D2 ولدينا القواعد التالية مع الاحتمال الشرطي لكل قاعدة :

لازلنا في منهج بايز فطريقة طرح القواعد هي :

if (hypothesis) then (Evidence) with prob=p  ;0= <p<=1  


معطيات المسألة :


if D1 then temp 0.9
if D1 then pres 0.8
if D2 then temp 0.7
if D2 then pres 0.3 

واحتمال حدوث كل مرض : P(D1)=0.8 , P(D2)=0.2


المطلوب :

أولاً: بفرض كان دخل النظام الخبير هو المشاهدة : ارتفاع درجة الحرارة فما هو خرج النظام ؟ توضيح :أي يجب عليك حساب احتمال أن يكون المريض مصاب بالمرض الأول علماً أن حرارته مرتفعة (P(D1|temp ، وحساب احتمال أن يكون المريض مصاب بالمرض الثاني علماً أن حرارته مرتفعة (P(D2|temp ومن ثم مقارنة الاحتمالين والأكبر هو خرج النظام .

ثانياً :بفرض كان دخل النظام هو المشاهدتين ( الحرارة مرتفعة + الضغط مرتفع ) فما هو المرض ؟

توضيح  : أي يجب عليك حساب احتمال أن يكون المريض مصاب بالمرض الأول علماً أن حرارته مرتفعة وضغطه مرتفع (P(D1|pres ، وحساب احتمال أن يكون المريض مصاب بالمرض الثاني علماً أن حرارته مرتفعة (P(D2|pres ,ومن ثم مقارنة الاحتمالين والأكبر هو خرج النظام .

الأجوبة :

أولاً :

      P(D1|temp)=0.84 , P(D2|temp)=0.2

فيكون خرج النظام هو D1 .

ثانياً :

      P(D1|temp,pres)=0.94 , P(D2|temp,pres)=0.06 
  

وخرج النظام هو D1 .

المنهج المعلوماتي (الطريقة التجريبية)

وهذا المنهج أقرب إلى تفكير الإنسان وطريقته في التعامل مع المسائل ومعطياتها، فبالنسبة للمثال التقليدي عن الأمراض دوماً عندما نشاهد أعراض معينة نشك بمرض معين وليس العكس وعندما نشاهد الأعراض الأخرى لنفس المرض تزيد نسبة قرارنا بأن الحالة التي نقوم بتشخيصها مصابة بهذا المرض، وهكذا...


إذا: نقوم باستنتاج الفرضيات وفقا للمشاهدات وليس العكس أي أن القواعد تأخد الشكل :


 [-1,1]∊If  (Evidences)  then (H), with certainty factor of x; x


فيكون لدينا معامل التوكيد certainty factor لكل قاعدة ومعامل توكيد لكل مشاهدة و فرضية

ينتمي معامل التوكيد للمجال [1+,1-]، عندما يكون قريباً من الصفر فهذا يعني أن العبارة في حالة شك وتفتقد للأدلة. وعندما تقترب قيمته من +١ فهذا يعني ازدياد تأكيد الفرضية، وعندما تقترب من ال -١ فهذا يعني ازدياد نفي الفرضية.

معامل التوكيد٢.jpg


قوانين تركيب معاملات التوكيد

في الحقيقة قد نجد في مجموعة قواعد تؤدي إلى نفس النتيجة فبالتالي تزداد ثقتنا بهذه القواعد "يزداد عامل توكيد النتيجة" ، وقد نجد قواعد متناقضة "فلا ننس أن من يضع هذه القواعد عدة خبراء فقد يضع أحدهم قاعدة ويأتي آخر يضع قاعدة نقيضة" بالتالي تقل ثقتنا بنتيجة هاتين القاعدتين . إذاً نحن نقوم بعملية تركيب لمعاملات التوكيد بين القواعد المختلفة :



القاعدة الأولى : في قاعدة من الشكل :

   R: IF x THEN y, with CFrule

أي يكون : X ⇒ Y

CFy=CFx*CFRule


مثال


(R⇒Q (cf=0.7

CFr = 0.9


ماهو عامل توكيد CFq ؟ الحل : CFq = CFr * CF = 0.9*0.7 = 0.56


ولكن ماذا إن كان لدينا أكثر من قاعدة تؤدي إلى Q ؟ الجواب : نقوم بحساب عامل توكيد Q من أجل كل قاعدة ومن ثم نركب عوامل توكيد Q التي حسبناها مثتنى مثنى من خلال مجموعة القواعد التالية :


Cf.jpg

القانون الأوسط فيه خطأ : حيث أن الmin في المقام ليست min للقيم المطلقة ولكنها القيمة التي قيمتها المطلقة هي الأصغر

فمن الممكن ان نعبر عنها بالشكل :


إذاً تستخدم هذه القواعد عند تجميع عوامل التوكيد لقاعدتين أو أكثر أي عند وجود قاعدتين أو أكثر كل منها تقتضي نفس الخرج .


مثال :

P⇒Q (cf=0.8)

R⇒Q (cf=0.7)

CFP=0.9

CFR=0.8


ما قيمة CFQ ؟؟


الحل :

يوجد قاعدتين يمكن استنتاج Q منها لذلك يجب حساب عامل التوكيد لـ Q من كل قاعدة ومن ثم نقوم بتركيب كلا عاملي التوكيد اللذين حسبناهما وفق القوانين السابقة :

(P1=0.9*0.8=0.72 (from the first rule
(P2=0.8*0.7=0.56 (from the second rule

وبما أن كلا P1 , P2 موجب نستخدم القانون الأول في التركيب فيكون :

CFQ=P1+P2*(1-P1)=0.72+0.56*0.28=0.88


والسؤال اللآخر : ماذا إذا كان الطرف الأيسر للقاعدة عبارة عن مجموعة عمليات منطقية بين مشاهدات مختلفة ؟ الجواب : يوجد مجموعة قوانين تختص في حساب عامل توكيد الطرف التعبير المنطقي لمجموعة مشاهدات وهي:


 (CF(CF1 and CF2)=min(CF1,CF2
 (CF(CF1 or CF2)=max(CF1,CF2
  CF(not CF1)= - CF1


وبالإسقاط على قواعد طرفها الأيسر عمليات منطقية وباعتبار Rcf1 هو معامل التوكيد للقاعدة في كل مرة يكون :

If  E1∧E2  then  H   ⇒   cf(H)=min(cf(E1),cf(E2))*Rcf1
If  E1∨E2  then  H   ⇒   cf(H)=max(cf(E1),cf(E2))*Rcf1

If  ¬E  then  H   ⇒   cf(H)=-cf(E1)*Rcf1

If  (E1∧E2 ∨ E3∧¬E4)  then  H   ⇒   max( min(cf(E1),cf(E2)),min(cf(E3),-cf(E4)) )*Rcf1

مثال

cf(D)=-0.7 , cf(C)=0.4 , cf(B)=0.5 , cf(A)=0.3


cf(A∧B)=min(0.3,0.5)=0.3

cf(A∨B)=min(0.3,0.5)=0.5


cf(¬A)=-cf(A)=-0.3


cf(A∧B ∨ C∨¬D)=max( min(0.3,0.4),max(0.4,0.7) )=max(0.3,0.7)=0.7

If  (E1∧E2 ∨ E3∧¬E4)  then  H

Rcf=0.6

cf(H)=0.7*0.6=0.42

مسألة1

لدينا القواعد التالية :

if  A∨B  then  C   Rcf1=0.3
if  C∨D  then  H   Rcf2=0.8
if  E∨F  then  H   Rcf3=0.2

معاملات التوكيد :

cf(A)=0.2 , cf(B)=0.5 , cf(D)=0.3 , cf(E)= - 0.6 , cf(F)= - 0.7

احسب (cf(H

الحل :

برسم شجرة الحل (شجرة and/or ) وذلك لتوضيح ما يجب حسابه حتى نصل ل H :

Ex1.png

cf(C)=max(A,B)*Rcf1=max(0.2,0.5)*0.3=0.15

من القاعدة الثانية :

cf1(H)=max(C,D)*Rcf2=max(0.15,0.3)*0.8=0.24

من القاعدة الثالثة :

cf2(H)=max(E,F)*Rcf3=max(-0.6,-0.7)*0.2=-0.12

النتيجتين مختلفتين بالإشارة لذلك نركب النتائج وفق القاعدة:

((|cf(cf1,cf2)=(cf1+cf2)/(1-min(|cf1|,|cf2
0.1363=0.12/0.88=(cf(H)=(0.24-0.12)/(1-0.12

مسألة2

لدينا القواعد التالية :

a: A∧B∧C⇒P      Ra=0.8

b: D⇒A     Rb=0.75

c: E⇒D      Rc=0.5

d: F⇒A      Rd=0.9

e: G∧H∧I⇒F      Re=0.5

f: J⇒B      Rf=0.8

g: K⇒C     Rg=0.75

h: L⇒C        Rh=1

i: M⇒L        Ri=1

j: N⇒L        Rj=1

أحتمالات المشاهدات :

P(E)=0.8 , P(G)=0.22 , P(H)=P(I)=P(J)=0.9 , P(M)=P(N)=0.5 , P(K)=1


أحسب (cf(P


تكون شجرة الحل :


Ex.jpg


لكن كيف تم حساب عوامل التوكيد ؟! حتى نستطيع حساب (CF(P نلاحظ أن p ناتجة عن عملية and بين A و B و C إذاً :

CF(p)=min(CF(A),CF(B),CF(C))*0.8              

إذاً يتوجب علينا حساب كل من (CF(A و (CF(B و (CF(C .. والتعويض بالمعادلة السابقة فنحصل على الناتج .


لنقم الآن بحساب (CF(A من الفرع اليساري للشجرة: ولنستطيع ذلك يجب معرفة كل من عامل التوكيد لـ A الناتج عن D بالعبارة b ، وعامل توكيد A الناتج عن F بالعبارة d .

  • العبارة b: نحن بحاجة إلى (CF(D، والمتحول D نحصل عليه فقط من العبارة c، العبارة c طرفها اليساري هو المتحول E والذي نملك عامل توكيده، إذاً:
CF(D)=CF(E)*CFc=0.8*0.5=0.4

إذاً عرفنا عامل توكيد الطرف الأيسر للعبارة b فنحسب عامل توكيد A الناتج عن هذه العبارة ولنسميه (CF1(A

CF1(A)=CF(D)*CFb=0.4*0.75=0.3
  • العبارة d: نحن بحاجة إلى عامل توكيد F وهذا لا نحصل عليه إلا من العبارة e، العبارة e طرفها اليساري مكون من G ^ H ^ I وهنا نحن بحاجة إلى (CF(G و (CF(H و (CF(I، وكلها معطاة في المسألة، إذاً:
CF(F)=CFe*min(CF(G),CF(H),CF(I))=0.5*min(0.22,0.9,0.9)=0.5*0.22=0.11

الآن بعد الحصول على عامل توكيد F من خلال العبارة e ، نستطبع حساب عامل توكيد A الناتج عن F من العبارة d ولنسمية (CF2(A

CF2(A)=CF(F)*CFd=0.11*0.9=0.099

الآن أصبح معنا (CF1(A وهو عامل توكيد A الناتج من القاعدة b و (CF2(A وهو عامل توكيد A الناتج من القاعدةd فنقوم بعملية تركيب لكلا هذين العاملين ويكون (CF(A الكلي :

((CF(A)=CF1(A)+CF2(A)*(1-CF1(A
CF(A)=0.3+0.099*(1-0.3)=0.36

وفي الرسمة مكتوب 0.3 وذلك خطأ ." قال الدكتور أنه تم التقريب إلى 0.3 !!"


حساب (CF(B  : لدينا قاعدة واحدة تقتضي B هي f

f: J ⇒ B  Rf = 0.8

فيكون:

CFb=CFj*CFf=0.9*0.8=0.72


حساب (CF(C : يشابه حساب A نحسبه ونعوض بالمعادلة الأولى فينتج أن CF(p) =0.24 .