المعادلات التفاضلية

من ويكي الهندسة المعلوماتية
اذهب إلى: تصفح، ابحث

المعادلة التفاضلية (بالانجليزية : Differental Equation): هي كل معادلة تحوي تفاضلات أو مشتقات لتابع أو أكثر كمتحولات في المعادلة. وتقسم إلى :

  • معادلات تفاضلية عادية (Ordinary Differental Equations) : و تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد و مشتقات هذا المتغير.
  • معادلات تفاضلية جزئية (Partial Differental Equations) تحوي توابع رياضية (دوال) لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية.



المعادلات التفاضلية العادية

نسمي كل علاقة من الشكل : بمعادلة تفاضلية من المرتبة n موجوداً بالفعل في العلاقة حيث f تابع لوسطائه حيث x هو المتحول المستقل و y هو التابع و هي مشتقات التابع y بالنسبة إلى x .

مثال : معادلة تفاضلية.

مرتبة ودرجة المعادلة التفاضلية

1- مرتبة المعادلة التفاضلية : هي مرتبة أعلى مشتق يظهر في المعادلة التفاضلية ، مثال : هي معادلة تفاضلية من المرتبة الأولى .

معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية.

2- درجة المعادلة التفاضلية : هي درجة أعلى مشتق يظهر في المعادلة التفاضلية المكتوبة بصورة كثير حدود بالنسبة للمشتقات ، مثال : معادلة تفاضلية من المرتبة الثانية ومن الدرجة الثانية .

معادلة تفاضلية من المرتبة الثالثة ومن الدرجة الأولى .

حل المعادلات التفاضلية

نسمي كل تابع معرف هو ومشتقاته في منطقة ما G بحل المعادلة التفاضلية إذا حول هذه المعادلة إلى مطابقة من أجل كل نقطة من نقاط هذه المنطقة.

مثال : يكون حلاً للمعادلة على المجال المفتوح إذا كان وذلك أياً كانت x تنتمي للمجال المفتوح .

أوجد حل المعادلة التفاضلية :

لحل هذه المعادلة نقوم بمكاملة الطرفين مرتين بالنسبة لـ x ،بالمكاملة الأولى نجد : ،وبالمكاملة الثانية نجد : وهو حل المعادلة التفاضلية.

ملاحظة : عدد الثوابت في حل المعادلة التفاضلية يساوي إلى مرتبة المعادلة.

حل المعادلة التفاضلية

  • الحل العام لمعادلة تفاضلية :

إذا قبلت المعادلة التفاضلية حلاً يحوي n ثابتاً كيفياً عندئذ نسمي هذا الحل بالحل العام للمعادلة التفاضلية وهذا الحل يكون وحيداً.

  • الحل الخاص لمعادلة تفاضلية :

هو حل يمكن استنتاجه من الحل العام بإعطاء قيم معينة للثوابت الكيفية .

مثال : لتكن المعادلة التفاضلية إن الحل العام نستخلصه من المكاملة مرتين بالنسبة لـ x فنحصل على : فإذا وضعنا مثلاً نحصل على حل خاص للمعادلة التفاضلية وهو : .

  • الحل الشاذ للمعادلة التفاضلية :

هو حل يحقق المعادلة التفاضلية ولكن لا يمكن استنتاجه من الحل العام بإعطاء قيم معينة للثوابت الكيفية .

مثال : لتكن المعادلة التفاضلية فيكون y=0 حل شاذ للمعادلة السابقة.

المعادلات التفاضلية من المرتبة الأولى

نسمي كل علاقة من الشكل بمعادلة تفاضلية من المرتبة الأولى (غير محلولة بالنسبة لمشتقها) ،أما المعادلة فهي معادلة تفاضلية محلولة بالنسبة لمشتقها.

مثال : كوّن المعادلة التفاضلية من التابع من المعادلة نجد أنها تحوي ثابتاً واحداً لذا نقوم بالاشتقاق مرة واحدة فنجد وبالتعويض في المعادلة المعطاة نجد :

أنواع المعادلات التفاضلية من المرتبة الأولى :

المعادلات التفاضلية ذات المتحولات المنفصلة : هي أبسط نوع من المعادلات التفاضلية ويكون لها الشكل العام التالي : ،لإيجاد الحل العام لهذه المعادلة نكامل الطرفين كما يلي :

مثال : أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية : بفضل المتحولات (وذلك بضرب طرفي المعادلة بـ ) نحصل على بمكاملة الطرفين نجد :

،نحن نعلم أن ومنه :

إذاً وهو الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة.

المعادلات التفاضلية التي تُرَد إلى معادلات ذات متحولات منفصلة :

  • 1- المعادلة من الشكل : حيث a ,b ,c ثوابت كيفية.

لحل هذا النوع من المعادلات التفاضلية نفرض : ونحسب  :

هذه المعادلة تكتب بالشكل التفاضلي كما يلي : بجمع المقدار إلى طرفي المعادلة نحصل على : ،بتقسيم طرفي المعادلة على b نجد :

بالتعويض في المعادلة المعطاة وبملاحظة أن نجد

أي : وهذه المعادلة تفاضلية ذات متحولات منفصلة .

بفصل المتحولات (وذلك بضرب طرفي المعادلة بـ نجد :

بمكاملة الطرفين نجد : لنرمز لـ بالرمز فيكون بتعويض نجد : .

في حال كان : نقوم بحساب قيمة z ثم نعوض في العلاقة وقد نحصل على حل شاذ.

  • 2- المعادلة من الشكل :

لحل هذا النوع من المعادلات التفاضلية نفرض : ومنه

نحسب ،نضرب طرفي المعادلة بـ فنجد : ومنه :

نقوم بالتبديل في المعادلة المعطاة فنجد :

وهذه العلاقة هي معادلة ذات متحولات منفصلة .

بفصل المتحولات نجد (وذلك بتقسيم طرفي المعادلة على المقدار ) فنحصل على : حيث : لا يساوي الصفر .

، بمكاملة الطرفين نجد :

ومنه فإن : وبتعويض نجد : وهذه العلاقة تمثل الحل العام للمعادلة .

أما إذا كان فمن هذه المعادلة نحسب قيمة z ثم نعوض في العلاقة فقد نحصل على حل شاذ للعلاقة

  • 3- المعادلات المتجانسة :

_نقول عن التابع أنه تابع متجانس من الدرجة m إذا تحقق الشرط :

مثال : بفرض التابع فيكون

بوضع حيث x لا تساوي الصفر ، في العلاقة ينتج :

_نقول عن المعادلة التفاضلية : أنها معادلة متجانسة إذا كان التابعان متجانسان من نفس الدرجة m حيث : m عدد حقيقي.

لحل المعادلة المتجانسة نتبع ما يلي :

بما أن متجانسة يمكن أن نكتب :

بالتقسيم على وبكتابة نكتب ما يلي :

وبفرض ومنه :

أي أنّ : وبكتابة هذه المعادلة بلغة التفاضل نجد : بضرب طرفي المعادلة بـ نجد :

بالتعويض في المعادلة نحصل على ما يلي : أي : وهذه العلاقة هي معادلة ذات متحولات منفصلة .

بفصل المتحولات (وذلك بتقسيم طرفي المعادلة على المقدار ) نحصل على :

بمكاملة طرفي هذه المعادلة نجد :

أي :

أما إذا كان : عندها نحسب قيمة من هذه المعادلة ثم نعوض في العلاقة وقد نحصل على حل شاذ.

  • 4- المعادلات ذات التجانس العام :

نقول عن المعادلة التفاضلية أنها معادلة تفاضلية ذات تجانس عام إذا وُجِد عدد بحيث أنه إذا بدّلنا كل بـ وكل بـ وكل بـ لم تتغير المعادلة وذلك من أجل كل .

ولحل المعادلة نتّبع ما يلي :

بما أن المعادلة ذات تجانس عام لذلك يمكن أن نكتب (بإجراء التبديلات السابقة) : ،ثم نضع حيث فنحصل على ما يلي :

، ثم نفرض ،أي : ونشتق هذه المعادلة (الهدف من هذه الخطوة هو إيجاد لتعويضه في المعادلة ولنحصل على معادلة تحتوي على فقط ،أي الحصول على علاقة ذات متحولات منفصلة) .

بالاشتقاق نجد : ،هذه المعادلة تكتب بلغة التفاضل كما يلي : بضرب طرفي العلاقة الأخيرة بـ نحصل على :

بتبديل بما يساويها من المعادلات السابق المستنتجة ،وذلك في المعادلة وذلك للحصول على معادلة بالمتحولات فقط نجد:

،ثم بتجميع كل الحدود التي تحوي مع بعضها وكل الحدود التي تحوي مع بعضها نحصل على:

،هنا نكون قد وصلنا إلى المعادلة ذات الحدود المنفصلة وأصبح الوصول لحل المعادلة التفاضلية سهلاً، لذلك نقوم بفصل المتحولات وذلك بتقسيم طرفي المعادلة على المقدار نجد:

بإجراء التكامل على طرفي المعادلة نجد:

ومنه فإن :

هذه العلاقة تمثّل الحل العام للمعادلة

في حالة : ،فإنه انطلاقاً من هذه المعادلة نقوم بحساب قيمة ونعوضها في العلاقة وقد نحصل على حل شاذ.

مثال : اعتماداً على التجانس العام ،أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية :

الحل : بما أن الحل سيكون اعتماداً على التجانس العام نقوم بالتبديلات التالية : كل بـ وكل بـ وكل بـ فنحصل على المعادلة التالية :

بالإصلاح (ضرب القوى يساوي مجموع الأسس) نجد :

وكما سبق وذكرنا أنه يجب ألا تتغير المعادلة بإجراء التبديلات السابقة ولتحقق ذلك يجب أن تكون :

ثم نفرض أن أي أنَّ : ،ومنه :

ثم نقوم بحساب (لتبديلها في العلاقة الأولى للحصول على معادلة تحتوي على فقط) وذلك باشتقاق المعادلة السابقة:

ثم نبدل قيم في العلاقة فنجد :

بالإصلاح والاختصار في الكسور السابقة نحصل على العلاقة التالية : وبتجميع الحدود المتشابهة (نقصد بالمتشابهة أي التي تحتوي على أو مع بعضها ) نحصل على ما يلي:

وهي معادلة ذات حدود منفصلة ، بفصل الحدود (وذلك بتقسيم طرفي المعادلة على المقدار نحصل على ما يلي : هذه المساواة تكتب كما يلي :

بإجراء التكامل لكلا طرفي المساواة نجد :

نقوم بالمكاملة بتفريق الكسر السابق كما يلي : بضرب طرفي المعادلة بـ نجد : وبفرض (وذلك لنتخلص من الحد الحاوي على ) نجد :

وبحساب قيمة نجد : ،لذا فإن المعادلة السابقة يمكن أن تكتب كما يلي :

ومنه : والتي تكتب كما يلي (حسب خواص اللوغاريتم) :

أي :

وبتعويض نجد : وتمثل هذه العلاقة الحل العام للمعادلة .

أما إذا كان فإن : نعوض في العلاقة وقد نحصل على حل شاذ.

مثال على المعادلات المتجانسة :

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية :

بضرب طرفي هذه المعادلة بـ نحصل على : ،أي :

لنفرض التابعين : , ومنه فإن العلاقة السابقة تكتب كما يلي : (قمنا بهذه الخطوة لكي نتوصل إلى مجموع تابعين ونطبق قاعدة المعادلات المتجانسة والتي تقول أن مجموع تابعين متجانسين من نفس الدرجة هو تابع متجانس).

إذاً هذا التابع متجانس من الدرجة الثانية .

أي أن هذا التابع متجانس أيضاً من الدرجة الثانية .

وبما أن التابعين متجانسين من نفس الدرجة فالمعادلة متجانسة ،ولحلها نفرض ومنه : ونحسب (وذلك للحصول على معادلة تحتوي على فقط أي معادلة ذات متحولات منفصلة) :

نبدل هذه القيمة وقيمة في المعادلة فنجد : ، ونلاحظ أن عامل مشترك في جميع حدود المعادلة لذا نقسم عليه فنجد : وبالإصلاح نجد : ، وهذه العلاقة معادلة ذت متحولات منفصلة ،بفصل المتحولات (عن طريق تقسيم طرفي المعادلة بالمقدار ) نجد :

نكامل الطرفين فنحصل على : ،أي (وبحسب جدول المكاملة) : ومنه وذلك لأن .

المعادلات التي تُرَدّ إلى متجانسة :

لتكن المعادلة التالية :

لحل هذا النوع من المعادلات نميّز الحالتين التاليتين :

الحالة الأولى: إذا كان :

لذلك نقوم بحل جملة المعادلاتين الخطيتين : ,

وبما أن المحدد لا يساوي الصفر فيوجد حل وحيد لجملة المعادلتين الخطيتين السابقتين ،يعطى بالشكل :

ثم نفرض أنّ : حيث هو المتحول المستقل الجديد.

ونفرض أيضاً أنّ : حيث هو التابع الجديد .

نلاحظ أنّ: (لأن تابع بالنسبة إلى ) . بالتبديل في المعادلة نجد :

والتي تكتب بالشكل :

وبما أن حلول للمعادلتين الخطيتين السابقتين ،فإن الحدود : و ،ومنه تصبح المعادلة السابقة كالتالي :

وهذه العلاقة هي معادلة متجانسة يمكن حلها بالطريقة الواردة سابقاً.

لمَ المعادلة السابقة متجانسة ؟

لأنه لو حسبنا

ومنه : أي أن المعادلة متجانسة من الدرجة صفر.

الحالة الثانية :

ومن هذا يمكن أن نقول أنه يوجد تناسب بين السطرين الأول والثاني ونكتب : . أي أنّ : .

نبدل هذه القيم في المعادلة فنجد :

ومنه فإن :

نفرض أن : بالاشتقاق : (المطلوب هو الحصول على قيمة لتعويضها في المعادلة والحصول على معادلة ذات متحولات منفصلة) بالإصلاح نجد :

نقوم بالتبديل في العلاقة فنحصل على : وهذه العلاقة هي معادلة ذات متحولات منفصلة يمكن حلها بالطرق السابقة .

المعادلات التفاضلية التامة وغير التامة :

تعريف (1): يعرف التفاضل الكلي (التام) للتابع كما يلي :

مثلاً :

,

تعريف (2) : لتكن لدينا المعادلة التفاضلية : (1)

حيث : و تابعان معرفان و مستمران على منطقة ما و لتكن

نقول عن المعادلة التفاضلية (1) أنها معادلة تفاضلية تامة إذا وحد تابع معرف و مستمر على المنطقة بحيث يكون:

وفي هذه الحالة يكون :   |
                                    | (2)
                        |

الشرط اللازم و الكافي لكي تكون المعادلة التفاضلية (1) تامة هو أن يتحقق الشرط :

حل المعادلة التفاضلية التامة : إن حل المعادلة التفاضلية التامة يعطى بالعلاقة :

كيفية إيجاد  :لإيجاد نأخذ إحدى العلاقتين الموجودتين في (2) على سبيل المثال و لتكن :

(3)

نشتق العلافة السابقة بالنسبة ل  :

لكن بحسب العلاقة الثانية من (2) لدينا:

بالتبديل ينتج :

نكامل بالنسبة ل  :

(4)

نعوض (4) في (3) فنحصل على


مثال : بناء على مفهوم المعادلات التفاضلية التامة : أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية :

الحل :

نلاحظ أن :

و منه نستنتج أن المعادلة (1) تامة لإيجاد  : لدينا :

نكامل بالنسبة ل  :

(2)

باشتقاق (2) بالنسبة ل نجد:

نعوض في  :

نكامل بالنسبة ل  :

نعوض في (2) نجد :

و بالتالي الحل العام :


المعادلات التفاضلية غير التامة : -عوامل التكميل-

لنأخذ المعادلة التفاضلية : (1)

و لنفرض أنها غير تامة أي :

إن فكرة حل المعادلة التفاضلية غير التامة هي تحويلها إلى معادلة تفاضلية تامة و ذلك بضرب طرفيها بتابع ما و ليكن :

بحيث تؤول المعادلة الناتجة إلى تامة .

يسمى بهذه الحالة بعامل التكميل (بعامل لاغرانج)

نضرب طرفي المعادلة (1) ب فنجد :

(2)

بما أن (2) تامة لذلك يكون :

(3)

و لنبحث عن عامل التكميل في الحالات التالية :

الحالة الأولى : نفرض و منه :

نعوض في (3) فنجد :

العلاقة السابقة هي معادلة ذات متحولات منفصلة ، بفصل المتحولات نحصل على :

بالمكاملة ينتج :

و منه فإن :

بما أننا نريد عامل التكميل (1) لذلك يمكن أن نفرض و بالتالي :


بعد إيجاد عامل التكميل نبدل في (2) فتصبح (2) معادلة تفاضلية تامة (تحل بالطريقة السابقة)

الحالة الثانية : نفرض أن و منه :

نعوض في (3) و بنفس المعالجة السابقة نحصل على :


الحالة الثالثة :

نفرض أن عامل التكميل تابع ل و تابع ل و  :

نعوض في العلاقة (3) فنحصل بعد الإصلاح على العلاقة التالية :

حتى تكون المعادلة السابقة قابلة للحل يجب أن يكون الطرف الأيمن فقط تابع ل


تمارين على المعادلات التفاضلية