الاحتمال الشرطي

من ويكي الهندسة المعلوماتية
اذهب إلى: تصفح، ابحث

مقدمة في الاحتمال الشرطي

في الأحداث العشوائية قمنا بحساب احتمالات مباشرةً اعتماداً على التجربة العشوائية دون أيّة معرفة مسبقة حول نتيجة التجربة.

في حال وصلنا إعلاماً جزئياً حول نتيجة التجربة كأن نعلم أنَّ حدثاً معيناً قد وقع فإنّ ذلك سيؤثر في احتمالات الأحداث المتعلقة بهذه التجربة.

قد تزداد احتمالات بعض الأحداث و قد تنقص احتمالات بعضها الآخر و هناك أحداث قد لا تتغير احتمالاتها وتبقى على ما كانت عليه .


مثال تهميدي

في تجربة إلقاء قطعة نرد منتظمة فضاء العينة هو . ليكن هو حدث ظهور رقم أقل من أربعة من الواضح أنَّ:

ليكن هو حدث ظهور رقم زوجي:

لنسأل الآن: إذا علمنا أن الحدث قد وقع فما هو احتمال وقوع الحدث ؟ بمعنى آخر, ما هو احتمال الحصول على رقم زوجي أقل من أربعة؟

نلاحظ أنًّ الشرط المعُطى يختزل فضاء العينة إلى المجموعة

و يكون الحدث الموافق لظهور رقم زوجي هو وبالتالي الاحتمال المطلوب هو:

إن هذا المثال يوضح لنا كيف أنّ بعض الأحداث تختلف احتمالاتها تبعاً لاختلاف فضاء العينة وهذا ما يقودنا إلى التعريف التالي :

تعريف الاحتمال المشروط (الاحتمال الشرطي)

ليكن فضاء العينة الموافق لتجربة ما E وليكن A و B حدثين من هذا الفضاء. نُعرف احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B و نرمز له بـ بالعلاقة التالية:

و التي تُدعى قانون الاحتمال الشرطي.


  • ملاحظة هامة : يجب التفريق بين الاحتمال الشرطي : وبين احتمال فرق حدثين : , فالأولى خط عمودي, والثانية خط مائل.

ولمنع الخلط بين الاحتمالين نضع احتمال الفرق على الشكل التالي :

  • ملاحظة :

إن التطبيق هو تابع احتمالي لأنه يحقق بديهيات الاحتمال:

  • إن و بالتالي


  • 3إذا كانت متتالية من الأحداث المتنافية مثنى مثنى فإن:

وذلك بالاستفادة من الخاصة التوزيعية و كون المتتالية هي متتالية أحداث منفصلة مثنى مثنى.

  • مثال:

بفرض أن احتمال إقلاع طائرة في الوقت المحدد لها هو و احتمال أن تصل في الوقت المحدد هو و احتمال أن تقلع و أن تصل في الوقت المحدد هو . احسب :

1 احتمال وصول الطائرة في موعدها علماً أنها أقلعت في موعدها.

2 احتمال إقلاع الطائرة في موعدها علماً أنها وصلت في الموعد المحدد.

الحل:

1 إن الاحتمال المطلوب هو

حيث

2 إن احتمال إقلاع الطائرة في موعدها علماً أنها وصلت على الموعد هو

الاحتمالات المركبة(Multiplicative Rules)

مبرهنة 1:

ليكن لدينا الحدثين و عندئذ:

(2.2)

وهو ما ندعوه قانون الاحتمالات المركبة.

الإثبات:

ينتج مباشرةً من التعريف الشرطي للاحتمال.

ملاحظة :

بما أنّ فإنّ . بكلام آخر ليس هناك أهمية لترتيب الحدثين و في قانون الاحتمالات المركبة.

مثال:

يكتب لاحقاً

مبرهنة 2 :

لتكن لدينا الأحداث و المتعلقة بتجربة ما ، عندئذ:

الإثبات:

إن و ذلك باستخدام قاعدة الضرب. نطبق هذه القاعدة مرة أخرى على الحدث و نجد أن

ونتابع بنفس الطريقة حتى نحصل على المطلوب.

الاستقلال العشوائي(Random Independence)

تعريف:

نقول أن الحدثين و مستقلين إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي:

OR

و إلا قلنا أن الحدثين مرتبطين.

ملاحظة :

أن يكون الحدثين و مستقلين فهذا يعني أن وقوع أحدهما لا يؤثر في احتمال وقوع الحدث الأخر.

أن يكون الحدثين و متنافيين فهذا يعني أن وقوع أحدهما يؤدي إلى عدم وقوع الحدث الأخر.

يجب عدم الخلط بين الأحداث المتنافية و الأحداث المستقلة!!!

مبرهنة 3 :

ليكن لدينا الحدثين و عندئذ و مستقلين إذا و فقط إذا تحقق الشرط التالي

الإثبات:

ينتج مباشرةً من تعريف الأحداث المستقلة و المبرهنة 1.

مبرهنة 4 :

إذا كان و حدثين مستقلين، عندئذ: 1.الحدثان و مستقلان. 2.الحدثان و مستقلان و كذلك الحدثين و .

الإثبات:

  • نعلم أن و ذلك حسب قانون دومورغان و بالتالي:

وهو الشرط الكافي للاستقلال.

  • لدينا

بالأسلوب ذاته نثبت أنّ الحدثين و مستقلان.

استقلال عدة أحداث عشوائية (Independence of events)

تعريف (استقلال ثلاثة أحداث عشوائية) :

نقول أن الأحداث مستقلة، إذا وفقط إذا تحقق الشرطان التاليان:

1. الأحداث مستقلة مثنى مثنى أي أنّ الحدثين مستقلين من أجل و .

2. .

و هكذا نُعرف استقلال أربعة أحداث... حتى إذا عرّفنا استقلال حدثاً عشوائياً فإننا نستطيع أن نُعرف استقلال حدثاً عشوائياً على الوجه التالي:

تعريف:

نقول أن الأحداث مستقلة، إذا وفقط إذا تحقق الشرطان التاليان:

1. كل متتالية جزئية مُكونة من حدثا عشوائياً مستقلة.ً

2. .

ملاحظة :

الأحداث المستقلة مثنى مثنى ليست بالضرورة مستقلة .

مثال :

ليكن لدينا فضاء العينة التالي

نفرض أن جميع الأحداث الابتدائية متساوية الاحتمال. احتمال كلٍ منها هو . نعرف الحدث كما يلي: الحرف

يحتل الموقع رقم حيث . لاحظ ان الأحداث مستقلة مثنى مثنى و لكن غير مستقلة.

لأن:

    
    

كذلك لاحظ أن: و  ;

و لكن

بسهولة يمكن إثبات المبرهنة التالية:

مبرهنة 5 :

إذا كانت الأحداث مستقلة فإنّ الأحداث مستقلة أيضاً.

ملاحظة:

إذا كانت الأحداث مستقلة فإنّ كل مجموعة مؤلفة من ثلاثة أحداث يظهر فيها الحدث أو متتممه تكون مستقلة. أي أنّ:

الأحداث مستقلة و الأحداث مستقلة وهكذا...الخ.


مثال : ثلاثة رماة A,B,C احتمال إصابتهم للهدف هو على الترتيب , إذا صوب كل منهم طلقة واحدة نحو الهدف ذاته فما هو احتمال :

1- إصابة الهدف .

2- إصابة الهدف بطلقة واحدة .

3- عدم إصابة الهدف .


الحل :


لنرمز بـ :

A لحدث إصابة الهدف من قبل الرامي A ويكون :

B لحدث إصابة الهدف من قبل الرامي B ويكون :

C لحدث إصابة الهدف من قبل الرامي C ويكون :

1) يصاب الهدف إذا وقعت أي من الأحداث A أو B أو C أي إذا وقع : ويكون :

وبما أن الأحداث مستقلة لإن احتمال إصابة كل منهم للهدف هي مقدار ثابت دوماً فإن :



يمكن حساب الاحتمال السابق بطريقة أخرى وذلك اذا لاحظنا أن : تكتب لاحقا ...


2) إن إصابة الهدف طلقة واحدة يقع إذا وقع أحد الأحداث  : او او المتنافية مثنى مثنى ويكون الاحتمال المطلوب هو :


3) إن احتمال عدم إصابة الهدف يقع اذا وقع الحدث : ومنه :

الاحتمال الكلي و قانون بايز Total Probability and Bayes' Rule

عند حساب احتمال وقوع حدث معين فإنّنا نلجأ إلى تجزئته إلى عدد من الأحداث المتنافية و ذلك لتسهيل عملية حساب الاحتمال.

تعريف:

لتكن لدينا الأحداث من فضاء العينة .نقول عن هذه الأحداث أنّها تشكل تجزئة للحدث الأكيد أو لفضاء العينة إذا و فقط إذا تحققت الشروط التالية:

نتائج:

  • 1.إذا كانت تشكل تجزئة لفضاء العينة فإنّ:

  • 2.أية تجزئة للفضاء تؤدي إلى تجزئة لأي حدث من هذا الفضاء.

لاحظ أنّه إذا كان فإنّ:

بما أنّ الأحداث تشكل تجزئة للحدث الأكيد فهي متنافية مثنى مثنى وينتج أنّ الأحداث

متنافية مثنى مثنى أيضاً و تشكل تجزئة للحدث .

إنّ مخطط فن أدناه يمثل تجزئة للحدث باستخدام التجزئة .

ملاحظة صغيرة : عند القراءة فقط عليك استبدال كل ب في الرسم أو الصورة وال التي في المنتصف الرسم أو الصورة ب

تجزئة أحداث.png

مبرهنة 6: (الاحتمال الكلي Theorem of Total Probability)

لتكن لدينا الأحداث و التي تشكل تجزئة لفضاء العينة و حيث من أجل كل .

عندئذ من أجل أي حدث فإنّ:

الإثبات:

من مخطط فن أعلاه و النتيجة الثانية نجد أنّّ:

و ذلك باستخدام قانون الاحتمالات المركبة و بملاحظة أنّ الأحداث متنافية مثنى مثنى.


مثال  :

في مصنع للتجميع لدينا 3 آلات B1,B2,B3 تنتج : 25%, 45% , 30% من المنتج النهائي على الترتيب . نعلم أن 2%, 3%, 2% من منتجات الآلات الثلاث على الترتيب غير صالحة . ما احتمال الحصول على منتج غير صالح في حال تم اختيار أحد منتجات هذا المصنع عشوائياً .

الحل:

لتكن لدينا الأحداث التالية :

• A :المنتج المسحوب عشوائيا غير صالح .

• B1 : المنتج المسحوب من الآلة B1 حيث :  
• B2 : المنتج المسحوب من الآلة B2 حيث :  
• B3 : المنتج المسحوب من الآلة B3 حيث :  

لاحظ أن الأحداث B1,B2,B3 تشكل تجزئة .. بتطبيق مبرهنة الاحتمال الكلي نجد أن :

مبرهنة 7: مبرهنة بايز

مبرهنة بايز: لتكن لدينا الأحداث و التي تشكل تجزئة لفضاء العينة و حيث من أجل كل .

عندئذ من أجل أي حدث حيث فإنّ:

وهو ما يسمى قانون بايز

الإثبات:

من تعريف الاحتمال الشرطي نجد أن:

وبالتالي نحصل على:

وذلك بتطبيق كل من قانون الاحتمالات المركبة وقانون الاحتمال الكلي.

ملاحظة:

إنً قانون بايز يُسمى أيضاً احتمال السبب و ذلك لأنً الحدث لا يقع إلا إذا وقع أحد الأحداث المسببة في حدوثه . إذاً عند وقوع الحدث يمكن البحث عن المسببات في وقوعه و احتمال كل منها.

مثال:

في المثال السابق ما هو احتمال أن يكون المنتج المسحوب من إنتاج الآلة الثالثة علماً أنه غير صالح.

الحل:

الاحتمال المطلوب حسابه هو . لاحظ أنّ كل شروط المبرهنة السابقة محققة وأنّ تشكل تجزئة وان أي أننا نستطيع تطبيق قانون بايز ويكون:

                                
                                   

مسألة دراسة احتمال الوصول إلى صفحة html

لنفترض أن هناك تسلسلين ممكنين من صفحات html التي توصل المتصفح إلى الصفحة E بدءاً من صفحة بداية home. وتتضمن المربعات احتمال المرور إلى كل صفحة من الصفحة التي تسبقها

في التسلسل المبين. ونفترض استقلال خيارات التصفح في كل صفحة عن باقي الصفحات. ونفترض للتبسيط تماثل احتمال الانتقال من كل من الصفحتين C وD إلى E.

1.ما القيم الممكنة لاحتمال الانتقال من الصفحة B إلى الصفحة D؟

2.وصّف علاقة الأحداث المتمثلة في الانتقال إلى C وإلى D (هل هي مستقلة، أم متنافية أم متتامة؟)

3.ما احتمال الوصول بدءاً من home إلى E بفرض أن احتمال المرور إلى D يساوي 0.15؟


4.ما احتمال أننا لم نمر بـ C علماً أننا وصلنا من home إلى E؟


5.احسب باستخدام قانون بايز احتمال المرور في D علماً أننا وصلنا من home إلى E؟

Untitled....png


الحل:


1.القيمة يجب أن تتراوح داخل المجال [0,0.2].


2.الأحداث C وD متنافية (إذا توجهنا إلى صفحة بدءاً من B فهذا يعني أننا لن نتوجه إلى الصفحة الأخرى)

ملاحظة هنا D,Cليسا متتامان لأنه يوجد احتمال البقاء في الصفحة B



3.نصل إلى E اعتباراً من home إذا تحقق الحدث وبالتالي:

4.الاحتمال الشرطي المطلوب هوC'|EfromH:

هنا D,C متتامان لأنه حتماً تم الوصول إلى E بالتالي لم يبقى في B

5.الاحتمال الشرطي المطلوب هوD|EfromH هو نفسه الاحتمال السابق.

تمارين البحث +ملاحظات

يرجى كتابتها في هذه الصفحة ملاحظات و أمثلة غير موجودة بالسلايدات+تمارين البحث الثاني